$$ \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\V}{\mathbb{V}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\sgn}{\mathrm{sgn}} \newcommand{\brac}[1]{\left ( #1 \right)} \newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}} \newcommand{\st}{\, \mid \,} \newcommand{\wh}{\,|\,} \newcommand{\abrac}[1]{\left \langle #1 \right \rangle} \newcommand{\sqbrac}[1]{\left [ #1 \right]} $$